현대물리 (Modern Physics)

41장 양자 역학 (Quantum Mechanics) — 파동함수의 해석 · 상자 속의 입자 · 슈뢰딩거 방정식 · 유한 우물 · 터널링 · 주사 터널링 현미경 · 단조화 진동자

41장 양자 역학 (Quantum Mechanics)

들어가며 — 양자역학이란

40장에서 우리는 빛이 상황에 따라 파동으로도, 입자(광자)로도 행동하며, 반대로 전자 같은 물질 입자도 파동성을 갖는다는 파동–입자 이중성을 보았습니다. 이 이중성은 하나의 통일된 이론을 요구했고, 그렇게 등장한 것이 바로 양자역학(quantum mechanics)입니다. 양자역학은 파동성과 입자성을 하나의 일관된 틀 안에 담아, 원자 정도로 작은 미시 입자의 세계를 성공적으로 설명하는 이론입니다.

이 이론 덕분에 우리는 원자 · 분자 · 원자핵, 그리고 고체에서 일어나는 거의 모든 현상을 이해하게 되었습니다. 원자 스펙트럼, 화학결합, 반도체의 전기적 성질, 물질의 자성, 초전도 현상 등은 모두 양자역학을 통해서만 제대로 설명됩니다. 오늘날 물리학·화학·재료과학·전자공학의 바탕을 이루는 이론이라 해도 지나치지 않습니다.

양자역학은 본질적으로 파동을 다루는 이론입니다. 미시 입자의 상태는 파동함수(wave function) $\Psi$로 기술되며, 입자의 행동을 알아내는 일은 결국 이 파동을 다루는 일이 됩니다. 그래서 이 장에서는 파동의 경계 조건이 핵심 역할을 합니다. 좁은 영역에 갇힌 파동은 양 끝의 경계 조건 때문에 정상파(standing wave)만 허용되고, 그 결과 입자가 가질 수 있는 에너지가 불연속적인 값(양자화)으로 제한됩니다. 이런 맥락에서 상자 속의 입자와 단조화 진동자(simple harmonic oscillator) 모형이 이 장에 자주 등장합니다.

이 논의는 40장에서 다룬 Planck의 흑체복사(40.1절)와도 자연스럽게 이어집니다. 역사적으로는 순서가 반대인데, Planck가 1900년에 진동자의 에너지를 $\varepsilon = h\nu$로 양자화해 흑체복사식을 먼저 유도했고(이는 양자역학 이전의 구양자론에 해당합니다), 완성된 양자역학은 그 뒤에 나왔습니다. 양자역학의 양자조화진동자 에너지 준위 $E_n = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\hbar\omega$는 Planck가 흑체복사 유도에 도입한 에너지 양자화를 뒷받침하며($\tfrac{1}{2}\hbar\omega$의 영점에너지가 추가됩니다), 전자기장을 조화진동자 모드로 양자화하면 Planck의 복사법칙이 재현됩니다. 이 연결 고리도 이 장에서 함께 살펴봅니다.

먼저 41.1절에서 파동함수 $\Psi$의 의미부터 시작하겠습니다. $\Psi$는 확률진폭(probability amplitude)이며, 그 절댓값의 제곱 $|\Psi|^2$이 입자를 발견할 확률밀도를 준다는 것이 출발점입니다.

41.1 양자 역학의 해석

40장에서 보았듯 물질과 전자기 복사는 현상에 따라 입자로도 파동으로도 나타납니다. 광전효과·콤프턴 효과는 광자(입자)를, 간섭·회절은 파동을 요구합니다. 양자역학은 두 얼굴을 모두 사실로 받아들이며, 이를 잇는 연결 고리가 확률(probability)입니다.

이 절은 익숙한 전자기 복사를 광자 관점에서 출발시켜, 파동을 규정하는 양에서 확률이 어떻게 등장하는지 따라갑니다.

전자기 복사에서 확률이 등장하는 방식

진동수 $\nu$의 빛을 광자들의 흐름으로 보고, 작은 부피 요소 안에서 광자 하나를 발견할 확률을 다음 세 비례 관계로 잇습니다.

1. 단위 부피당 광자를 발견할 확률밀도 $\propto$ 단위 부피당 광자 수 $N/V$ — 광자가 촘촘한 곳일수록 만날 가능성이 크다.
2. $N/V \propto$ 복사 세기 $I$ [W/m²] — 광자 하나의 에너지 $E_\gamma = h\nu$가 일정하므로 세기가 클수록 광자가 빽빽하다.
3. $I \propto$ 전기장 진폭의 제곱 $E^2$ — 고전 전자기학의 사실. (여기 $E$는 전기장 진폭[V/m]으로, 광자 에너지 $E_\gamma = h\nu$와 문자만 같고 다른 양이다.)

이 관계가 물질 입자 이야기의 원형입니다. 전기장 $E \leftrightarrow$ 파동함수 $\Psi$, 세기 $E^2 \leftrightarrow$ 확률밀도 $|\Psi|^2$로 대응됩니다. ($E$는 실수라 $E^2$을, $\Psi$는 복소수라 $|\Psi|^2$을 쓴다.)

전자기파에서 물질 입자로 — 파동함수의 등장

빛만 이중성을 갖는 게 아닙니다. 전자 같은 물질 입자도 드브로이 파장 $\lambda = h/p$의 물질파를 가지며, 전자 회절에서 파동의 얼굴을 드러냅니다 — 빛과 완전히 대칭입니다.

그래서 “파동을 규정하는 양의 제곱 $\propto$ 입자를 발견할 확률밀도”가 물질 입자에도 성립하리라 추정합니다. 단, 전자기파와 결정적으로 다른 점 — 무엇이 측정 가능한 양인가 — 이 있습니다.

• 전기장 $E$ [V/m]는 그 자체로 측정 가능한 물리량이다.
• 물질파(드브로이 파)의 진폭은 직접 측정되지 않는다. 측정되는 것은 그 제곱이 주는 “입자를 어디서 발견하는가”라는 확률(확률밀도)뿐이다.

이 차이의 정확한 의미는 아래 접힌 상자에서 자세히 다룹니다.

이 차이를 받아들이면 물질 입자의 비례식이 나옵니다. $I \propto E^2$의 자리에, 물질에서는 $|\Psi|^2$($\Psi$가 복소수이므로 절댓값의 제곱)이 곧 단위 부피당 입자를 발견할 확률입니다.

이렇게 전자기파의 원형을 대칭성으로 옮겨 파동함수 $\Psi$에 도달했습니다. 남은 일은 $\Psi$의 정식 성질 — $|\Psi|^2$의 정의, 확률 총합이 1이 되는 규격화, 관측량의 기댓값, 그리고 코펜하겐 해석 — 입니다.

파동함수 Ψ — 공간 부분과 시간 부분

파동함수는 계 전체를 기술합니다. 일반적으로 어떤 계의 (복소) 파동함수 $\Psi$는 그 계에 속한 모든 입자의 위치와 시간의 함수로 씁니다.

여기서 $\vec r_j$는 계의 $j$번째 입자의 위치, $t$는 시간(파라미터)입니다. 입자가 하나뿐이고 1차원 문제라면 흔히 $\Psi(x,t)$로 단순화되며, 이 절에서도 대부분 한 입자 표기를 씁니다.

시간·공간의 분리 — 정상상태로 가는 길

물리적으로 중요한 많은 경우, 파동함수는 위치에만 의존하는 부분과 시간에만 의존하는 부분의 곱으로 깔끔하게 분리됩니다. 한 입자 표기로 쓰면 다음과 같습니다.

여기서 $\omega$는 각진동수(단위 rad/s), $E$는 계의 에너지입니다. (앞 절에서 나온 전기장 $E$나 광자 에너지 $E_\gamma$와는 다른 양 — 여기서 $E$는 이 파동함수로 기술되는 계 전체의 에너지를 뜻합니다.) 그래서 시간 부분은 단순히 $e^{-iEt/\hbar}$로 정해집니다.

위 식의 $\vec r$는 위치 변수 전체를 대표로 줄여 쓴 한 입자 표기입니다. 입자가 여러 개인 계에서는 앞의 다입자 표기 $\Psi(\vec r_1,\dots,\vec r_j;t)$처럼 공간 부분 $\psi$가 계의 모든 입자 위치 $\vec r_1,\vec r_2,\dots,\vec r_j$를 함께 담습니다. 일반형으로 쓰면 다음과 같습니다.

입자들이 서로 상호작용하면 공간 부분 $\psi$는 $\vec r_1,\vec r_2,\dots$의 곱으로 더 이상 인수분해되지 않지만, 시간과 공간의 분리 자체는 여전히 성립합니다 — 그것이 바로 정상상태의 정의입니다.

이때 중요한 정보는 모두 공간 부분 $\psi(\vec r)$에 담깁니다. 시간 부분은 그저 $e^{-i\omega t}$로 회전하는 위상일 뿐이므로, 계를 이해한다는 것은 사실상 공간 파동함수 $\psi$를 구하고 해석하는 일이 됩니다. 뒤이어 다룰 상자 속 입자 문제도 결국 $\psi(\vec r)$를 찾는 문제입니다.

ψ의 성질과 확률밀도 |Ψ|²

공간 파동함수 $\psi$는 일반적으로 복소수 값을 가집니다. 그러나 그 켤레복소수와의 곱 $\psi^{*}\psi=|\psi|^2$은 언제나 실수이며 음이 될 수 없습니다($\ge 0$). 확률은 실수이고 음수일 수 없으므로, 확률과 이어지는 양은 $\Psi$ 자체가 아니라 바로 이 절댓값 제곱입니다.

즉 파동함수의 절댓값 제곱 $|\Psi|^2$은 주어진 위치와 시간에서 단위 부피당 입자를 발견할 확률(확률밀도)에 비례합니다. 이 하나의 함수가 입자 운동에 대한 모든 정보를 담고 있습니다.

앞의 분리형을 넣어 보면, 시간 부분의 크기가 항상 1이므로($|e^{-i\omega t}|=1$) 시간이 통째로 사라집니다.

따라서 이런 계에서는 확률밀도가 시간에 무관합니다. 위상 $e^{-i\omega t}$는 돌고 있어도 입자를 발견할 확률의 분포는 변하지 않는 것입니다. 이런 상태를 정상상태(stationary state)라고 부르는데, 규격화와 함께 다음 항목에서 이어 다룹니다.

양자와 고전이 만나는 곳 — 대응 원리

지금까지의 확률적 해석은 하루아침에 나온 것이 아닙니다. 파동함수를 확률과 잇는 확률해석은 1926년 Max Born이 처음 제시했고(이 페이지 ‘들어가며’에서 밝힌 그 1926년입니다), 같은 1926년 Schrödinger는 파동함수가 시간과 공간에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 파동방정식(슈뢰딩거 방정식)을 내놓았습니다.

양자역학의 개념들은 낯설고 이상해 보이지만, 실은 고전물리의 착상에서 자라난 것입니다. 그래서 양자역학을 거시세계에 적용하면 그 결과는 본질적으로 고전역학과 같아집니다. 이것이 대응 원리(correspondence principle)의 취지입니다 — 새 이론은 옛 이론이 잘 통하던 영역에서 옛 이론을 재현해야 한다는 것이지요.

양자와 고전이 만나는 경계는 드브로이 파장 $\lambda=h/p$가 계의 크기에 비해 충분히 작을 때 나타납니다. 파장이 물체보다 터무니없이 작으면 파동성이 드러날 여지가 없어, 입자는 그저 “고전적인 알갱이”처럼 행동합니다.

자유 입자의 파동함수 — $\psi(x)=Ae^{ikx}$

드브로이 관계 $p=h/\lambda$는 입자의 운동량과 파장을 잇습니다. 이 관계를 이용해 가장 단순한 계 — 자유 입자(free particle) — 의 파동함수를 적어 봅시다.

어떤 힘도 받지 않는 이상적인 자유 입자가 정확한 운동량 $p_x$를 가진다면, 그 파동함수는 찌그러지거나 변조되지 않은 고른 사인파로 $x$축 전체에 균일하게 퍼져 있습니다. 이 상태의 공간 파동함수는 다음과 같습니다.

여기서 $k$는 파수(wave number)로, 단위 길이당 위상이 얼마나 도는지를 나타내며 $k=2\pi/\lambda$ [rad/m]로 정의됩니다(40.6절 양자입자에서 다룬 것과 같은 양입니다). 드브로이 관계와 결합하면

가 되어, 파수 $k$가 곧 운동량 $p_x$를 담습니다. 이 파동함수의 확률밀도를 계산해 보면 $|\psi|^2=\psi^{*}\psi=|A|^2$로 위치에 전혀 무관한 상수입니다. 즉 입자를 $x$축 어디서나 똑같은 확률로 발견하게 됩니다 — 운동량이 완전히 확정되면 위치는 완전히 퍼진다는 40.8절 불확정성 원리의 극단적 사례입니다.

확률 해석의 관점에서 정리하면 이렇습니다. 파동함수 $\psi$ 자체는 측정되지 않지만, 그 절댓값 제곱 $|\psi|^2$은 측정으로 이어집니다. $\psi$가 한 입자를 나타낸다면 $|\psi|^2$은 주어진 점에서 단위 부피당 그 입자를 발견할 확률(확률밀도)이고, 그 점을 둘러싼 작은 부피요소 $dV$에 대해

가 됩니다(1차원이라면 $|\psi|^2\,dx$). 즉 확률밀도에 부피를 곱해야 비로소 실제 확률이 나옵니다. 그렇다면 온 공간에서 입자를 발견할 확률을 모두 더하면 반드시 1이어야 할 텐데($\int|\psi|^2\,dV=1$), 이 요구가 바로 다음 항목의 규격화(normalization)입니다.

1차원 파동함수와 기댓값

앞의 부피요소 논의를 1차원 계로 좁혀 봅시다. 입자가 $x$축에서만 움직이면 부피요소가 $dV\to dx$가 되어, 확률은 다음처럼 주어집니다.

여기서 $P(x)=|\psi(x)|^2$는 확률밀도(probability density) — 단위 길이당 확률 — 이고, $P(x)\,dx$는 위치 $x$와 $x+dx$ 사이의 좁은 구간에서 입자를 발견할 확률입니다.

입자의 위치를 완전히 정할 수는 없지만, 확률밀도 $|\psi|^2$로 확률적으로 기술할 수 있습니다. 입자가 유한 구간 $a\le x\le b$ 안에 있을 확률은 그 구간에서 확률밀도를 적분한 값입니다.

이 적분값은 곧 그 구간에서 곡선 $|\psi|^2$ 아래의 넓이입니다. 예컨대 그 값이 0.3이면, 해당 구간에서 입자를 발견할 확률이 30%라는 뜻입니다.

입자는 $x$축 어딘가에는 반드시 존재하므로, 온 구간에 걸친 확률을 모두 더하면 1이 되어야 합니다.

이 조건을 만족하는 파동함수를 규격화되었다(normalized)고 합니다. 규격화란 결국 “그 입자가 공간 어딘가에 존재한다”는 사실을 확률의 언어로 못박은 것입니다 (3차원 일반형은 $\int|\psi|^2\,dV=1$).

전자기장·전자기파의 장(場)이 맥스웰 방정식을 만족하듯, 물질의 확률진폭인 파동함수 $\psi$는 슈뢰딩거 방정식을 만족합니다(그 형태와 풀이는 41.4절에서 다룹니다). $\psi$ 자체는 직접 측정하는 물리량이 아니지만, 입자의 중요한 역학적 정보(에너지·운동량 등)는 모두 $\psi$를 통해 얻습니다.

그 대표적인 예가 기댓값(expectation value)입니다. 같은 상태의 입자를 여러 번 측정할 때 입자가 발견되는 평균 위치 $\langle x\rangle$는, 규격화된 $\psi$에 대해 다음과 같습니다.

이는 위치 $x$를 확률밀도 $|\psi|^2$로 가중평균한 것($\int x\,P(x)\,dx$)에 지나지 않습니다. 더 일반적으로 위치의 임의 함수 $f(x)$의 기댓값도 같은 방식으로 구합니다.

파동함수 ψ가 갖춰야 할 수학적 성질

확률 해석($P=|\psi|^2$·규격화·기댓값)이 앞뒤가 맞으려면, 파동함수 $\psi$가 아무 함수나 될 수는 없고 몇 가지 수학적 조건을 갖춰야 합니다. 이 조건들은 뒤 41.4절에서 슈뢰딩거 방정식의 여러 수학적 해 가운데 물리적으로 의미 있는 해만 골라내는 경계조건으로 쓰입니다.

1. 복소수/실수. $\psi$는 일반적으로 복소수 값을 갖습니다. 다만 계에 따라 실수로 택할 수 있는 경우도 있는데, 이는 실수 퍼텐셜 속의 속박된 비축퇴 정상상태(예: 무한 우물·조화진동자의 정지파형)에 한합니다. 반면 앞서 본 자유 입자 $\psi=Ae^{ikx}$처럼 진행파형 상태는 복소수로 남습니다(같은 에너지의 $e^{\pm ikx}$가 겹치는 축퇴 상태). 어느 쪽이든 관측과 이어지는 것은 파동함수 자체가 아니라 확률밀도 $|\psi|^2$입니다.
2. 단일값(single-valued). 공간의 각 점에서 $\psi$는 오직 하나의 값만 가져야 합니다. 그래야 그 점의 확률밀도 $|\psi|^2$이 유일하게 정해집니다.
3. 유한(finite). $\psi$는 어디서도 무한대로 발산하지 않아야(유계) 합니다. 그래야 확률밀도 $|\psi|^2$이 물리적으로 의미를 가집니다.
4. 연속(continuous). $\psi$는 연속함수여야 합니다. 나아가 퍼텐셜 에너지 $U$가 유한한 곳에서는 그 도함수 $d\psi/dx$도 연속(매끄러움)이어야 합니다. 단, $U$가 무한대인 벽 같은 특수한 경계에서는 도함수 $d\psi/dx$의 불연속이 허용됩니다(41.2·41.4절에서 봅니다).
5. 규격화 가능(제곱적분 가능, square-integrable). 적분 $\int |\psi|^2\,dx$(3차원이면 $\int|\psi|^2\,dV$)가 유한해서 규격화($\int|\psi|^2\,dx=1$)할 수 있어야 합니다. 이를 위해 보통 $x\to\pm\infty$에서 $\psi\to 0$이어야 합니다. 앞서 본 자유 입자 $\psi=Ae^{ikx}$가 규격화되지 않았던 것도 바로 이 조건을 어긴 이상화였기 때문입니다.

이 조건들을 모두 만족하는 $\psi$를 물리적으로 허용되는(잘 정의된) 파동함수라 부릅니다. 슈뢰딩거 방정식의 해 중에서 이 조건들을 통과하는 것만이 실제 물리 상태를 기술합니다.

41.2 상자 속의 입자

41.1절에서 파동함수 $\psi$와 그 확률 해석, 그리고 $\psi$가 갖춰야 할 연속성·벽 밖에서 0이라는 조건을 세웠습니다. 이제 이 조건들이 실제로 무엇을 만들어 내는지를 가장 단순한 갇힌 계 — 폭이 정해진 상자 안에 갇힌 입자 — 에서 확인합니다. 놀랍게도 이 단순한 계에서 에너지가 저절로 띄엄띄엄해지는 양자화가 자연스럽게 튀어나옵니다.

고전적인 상자 속 입자

먼저 고전역학의 그림부터 봅시다. 1차원 계에서 폭 $L$의 상자 속 입자를 생각합니다. 질량이 $m$인 입자가 $x$방향으로 속력 $v$로 오른쪽으로 가다가 벽에 부딪혀 되튕겨 왼쪽으로, 다시 반대쪽 벽에서 되튕겨 오른쪽으로 — 상자 안을 왕복합니다.

벽과의 충돌이 완전 탄성이라면 충돌 전후로 운동에너지와 운동량의 크기가 보존됩니다(방향만 뒤집힐 뿐입니다). 여기서 핵심은, 고전역학에서는 이 입자의 운동량이나 에너지 값에 아무런 제한이 없다는 점입니다. 상자가 아무리 좁아도 입자는 연속적으로 아무 값의 속력·에너지나 가질 수 있습니다. 다음에 볼 양자역학의 결론과 정면으로 대비되는 지점입니다.

양자역학: 무한 퍼텐셜 우물

양자역학에서는 입자를 파동함수로 다루므로, 이 상황에서는 주어진 조건에 맞는 적당한 파동함수를 찾는 일이 문제 풀이의 전부가 됩니다. 그러려면 상자를 어떻게 모형화할지부터 정해야 합니다.

입자가 벽을 결코 투과할 수 없다고 가정합시다. 그러면 벽 바깥에서 입자를 발견할 확률진폭, 즉 파동함수 $\psi(x)$는 0이어야 합니다. 다시 말해 $\psi(x)$는 $0 < x < L$ 인 상자 안에서만 0이 아니고, 그 밖에서는 모두 0입니다.

입자를 상자 안에 완전히 가두는 이 상황은, 벽을 위치 에너지 $U=\infty$로 두는 것과 같습니다. 입자가 무한대의 에너지를 가질 수는 없으므로, 입자는 반드시 상자 안($0 < x < L$)에 있어야 합니다. 이렇게 벽이 무한히 높은 퍼텐셜로 둘러싼 모형을 무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well)이라 부릅니다.

경계조건과 파장의 양자화

상자 안($0 < x < L$)에서는 입자에 아무 힘도 작용하지 않으므로, 파동함수는 자유 입자처럼 사인·코사인의 조합 $A\sin kx + B\cos kx$로 놓을 수 있습니다. 그런데 왼쪽 벽에서 $\psi(0)=0$이어야 하는데 코사인 항은 $\psi(0)=B\neq0$이라 경계조건을 어기므로 $B=0$ — 즉 사인 항만 살아남습니다. 따라서

로 쓸 수 있습니다. 여기서 $\lambda$는 입자의 드브로이 파장입니다. 이 형태는 $x=0$을 넣으면 $\sin 0=0$이 되어 $\psi(0)=0$을 자동으로 만족합니다.

이제 41.1절에서 세운 조건 — 파동함수는 연속이고 벽 밖에서는 0 — 을 벽에 적용합니다. 벽 바깥에서 $\psi(x)=0$인데 $\psi(x)$가 연속이려면, 두 벽에서 파동함수 $\psi(x)$가 0이어야 합니다. 이것이 이 계의 경계조건(boundary condition)입니다.

$\psi(0)=0$은 위에서 사인 꼴을 택한 것으로 이미 충족됐습니다. 남은 조건 $\psi(L)=0$을 대입하면 파장이 아무 값이나 될 수 없게 됩니다.

사인이 0이 되는 곳은 각이 $\pi$의 정수배($0,\pi,2\pi,\dots$)일 때뿐이므로 $2\pi L/\lambda=n\pi$가 나옵니다. 여기서 $n=0$이면 $\psi(x)\equiv0$이 되어 입자가 아무 데도 없는 셈이라 물리적 상태가 될 수 없으므로 제외하고, $n=1,2,3,\dots$ 만 허용됩니다. 이렇게 상자에 들어맞는 파장이 띄엄띄엄한 값 $\lambda=2L/n$ 으로만 허용되는 것 — 이것이 파장의 양자화입니다.

여기서 등장한 정수 $n$을 양자수(quantum number)라고 부릅니다. 허용된 파장 $\lambda=2L/n$을 다시 파동함수에 넣어 정리해 봅시다. $\dfrac{2\pi}{\lambda}=2\pi\cdot\dfrac{n}{2L}=\dfrac{n\pi}{L}$ 이므로,

가 됩니다. 정수 $n$마다 서로 다른 정상파 꼴의 파동함수가 상자 안에 허용되는 셈입니다 ($n=1$은 반파장 하나, $n=2$는 반파장 둘, ...). 이것이 양자화의 출발점입니다. 각 $n$에 대응하는 에너지 $E_n$과 그로부터 나오는 영점 에너지는 바로 이 파장 양자화의 결과이며, 이어서 다룹니다.

운동량과 에너지의 양자화

경계조건이 파장을 $\lambda=2L/n$으로 양자화했다는 사실은, 곧바로 입자의 운동량 $p_n$과 에너지 $E_n$이 함께 양자화됨을 뜻합니다. 먼저 드브로이 관계 $p=h/\lambda$에 양자화된 파장을 넣어 봅시다. 여기서 $h$는 플랑크 상수, $L$은 상자의 폭, $n$은 양자수입니다.

이렇게 운동량이 $n$에 비례하는 불연속 값으로만 허용됩니다. 다음으로 에너지를 구합니다. 무한 퍼텐셜 우물 안에서는 퍼텐셜 에너지가 $U=0$이므로, 입자의 전체 에너지는 운동에너지뿐입니다. 비상대론적으로 $E_n=\tfrac12 m v_n^2=\dfrac{p_n^{\,2}}{2m}$이고($m$은 입자의 질량), 위의 $p_n$을 대입하면

중간 단계로 $\left(\dfrac{nh}{2L}\right)^{\!2}=\dfrac{n^2h^2}{4L^2}$를 $2m$으로 나누어 $\dfrac{n^2h^2}{8mL^2}$가 됩니다. 정리하면

이로써 갇힌 입자의 운동량과 에너지가 모두 불연속적인 값으로 양자화됩니다. 특히 $E_n\propto n^2$이므로 위로 갈수록 준위 간격이 급격히 벌어지는데($E_2=4E_1$, $E_3=9E_1$), 바로 앞의 에너지 준위 도표가 이 $n^2$ 규칙을 그림으로 보여 준 것입니다. 에너지 단위로는 원자·전자 규모에서 $\mathrm{eV}$가, 핵 규모에서 $\mathrm{MeV}$가 자연스럽습니다.

왜 $n=0$은 안 되는가 — 영점 에너지

식만 보면 $n=0$을 넣어 $E_0=0$인 상태를 생각할 수도 있지만, 이는 허용되지 않습니다. 두 가지 이유가 겹칩니다. 첫째, $n=0$이면 $\psi(x)=A\sin(0)\equiv0$이 되어 파동함수가 온데간데없이 사라지고, 이는 입자가 상자 어디에도 존재하지 않는다는 물리적으로 말이 안 되는 상황입니다. 둘째, $E_0=0$은 운동에너지가 0, 곧 운동량이 정확히 $p=0$이라는 뜻이어서 입자가 완전히 정지해 있음을 의미합니다.

41.3 경계 조건에서의 입자

41.2절에서 상자 속 입자의 에너지가 저절로 띄엄띄엄해지는 것을 보았습니다. 이 절에서는 그 배경에 있는 공통 원리를 한 발 물러서서 정리합니다. 요점은 하나입니다 — 파동이 실린 계에서 어떤 파장이 허용되는지를 알려면, 우리는 항상 경계조건(boundary condition)을 써야 합니다. 이는 줄에 실린 고전적인 파동이든, 양자 입자의 물질파이든 똑같이 적용되는 규칙입니다.

같은 규칙, 두 사례

① 양 끝이 고정된 줄. 기타 줄처럼 양 끝이 단단히 묶인 줄을 튕기면 정상파(standing wave)가 섭니다. 이때 가장 기본적인 경계조건은 양 끝에서 줄이 움직이지 않는다는 것 — 즉 그 지점의 변위가 0이라는 것입니다. 줄은 오직 이 조건을 만족하는 모양으로만 진동할 수 있습니다.

② 상자 속 입자. 41.2절의 무한 퍼텐셜 우물에서는 입자가 벽을 투과할 수 없으므로, 벽에서 입자를 발견할 확률이 0이어야 합니다. 확률밀도가 $|\psi|^2$이므로, 이는 양 끝(벽)에서 $|\psi|^2=0$, 곧 파동함수 $\psi=0$이라는 경계조건이 됩니다. 줄의 “변위가 0”에 정확히 대응하는 조건입니다.

공통 결과: 양자화된 정상파

경계조건은 아무 파장이나 허용하지 않습니다. 끝에서 0이 되는 모양은 딱 맞아떨어지는 파장들뿐이라, 두 경우 모두 허용 파형이 $\lambda=2L/n$인 정상파들의 열($n=1,2,3,\dots$)로 나옵니다. 마디 수가 하나씩 늘어나는 공간 파형(모양)은 줄의 하모닉스와 똑같습니다 — 줄에서는 기음·배음, 상자 속 입자에서는 41.2절의 $\psi_n$.

결정적인 차이는 진동수가 무엇과 연결되는가에 있습니다. 양자계에서는 진동수가 에너지와 직접 이어집니다($E=hf$). 따라서 진동수의 양자화는 곧바로 에너지의 양자화를 뜻합니다. 반면 줄은 고전계여서 진동수는 양자화되지만, 그 자체를 “에너지 양자화”라고 부르지는 않습니다 — 줄의 진동 에너지는 진폭을 조절해 연속적으로 바꿀 수 있기 때문입니다.

일반 원리 — “구속되면 양자화된다”

이제 이 모두를 한 문장의 일반 원리로 묶을 수 있습니다.

말이 추상적이니 풀어서 읽어 봅시다. “무언가에 붙잡혀 좁은 영역에 갇힌(구속된) 입자는 에너지가 띄엄띄엄한 값(이산적)만 가질 수 있다”는 뜻입니다. 왜 그럴까요?

• 갇히면 정상파만 허용된다. 입자가 좁은 영역에 구속되면, 그 파동함수는 영역에 딱 맞는 정상파만 될 수 있습니다(경계조건). 그래서 허용되는 파장이 몇 개로 제한됩니다.
• 파장이 제한되면 에너지도 이산적. 드브로이 관계 $\lambda = h/p$로 파장이 운동량을 정하고, 운동량이 에너지를 정하므로 — 파장이 몇 개뿐이면 운동량과 에너지도 이산적인 값들만 남습니다.
• 구속이 없으면 연속. 아무것에도 붙잡히지 않은 자유 입자는 경계조건이 없어 어떤 파장이든 허용되고, 그래서 에너지가 연속입니다. 결국 이산성(양자화)을 만드는 것은 “구속”입니다.

그렇다면 “주변과의 상호작용”의 정체는 무엇일까요? 그것은 입자를 붙잡아 두는 힘(퍼텐셜)입니다. 상자 속 입자에서는 무한히 높은 벽($\psi=0$)이 그 역할을 했습니다. 원자 속 전자에게는 원자핵의 전기적(쿨롱) 인력이 그 “붙잡아 두는 상호작용”입니다 — 이 인력이 만드는 퍼텐셜이 전자를 핵 주위에 구속하고, 그 결과 “멀리서 $\psi\to0$”이라는 경계조건이 생겨(딱딱한 벽 대신 부드러운 퍼텐셜이지만 원리는 같습니다) 에너지 준위가 이산적이 됩니다. 따라서 원자의 에너지 준위가 띄엄띄엄한 것도 같은 원리의 결과입니다 — 이 이야기는 42장 원자물리에서 이어집니다.

41.4 슈뢰딩거 방정식

전자기파(광자)가 맥스웰 방정식에서 나오는 파동방정식을 만족하듯, 입자의 물질파에도 그것이 만족하는 파동방정식이 있어야 합니다. 다만 그 방정식의 형태는 광자의 것과 같을 수 없습니다. 광자는 질량이 0이라 에너지–운동량 관계가 $E=pc$이지만, 입자는 질량이 있어 정지에너지 $mc^2\neq0$이고, 비상대론적 입자의 에너지는 다음과 같기 때문입니다.

핵심은 에너지가 운동량에 어떻게 의존하느냐(분산관계)가 다르다는 점입니다. 광자는 에너지가 운동량에 선형($E=pc$)이지만, 입자는 제곱($E\propto p^2$)입니다. 이 차이 때문에 물질파가 만족하는 파동방정식은 광자의 것과 형태가 다를 수밖에 없습니다(뒤에서 보듯 시간에 대해 1계인 방정식이 됩니다). 1926년 슈뢰딩거(E. Schrödinger)는 이 물질파에 맞는 적절한 파동방정식을 제안했습니다.

시간 무관 슈뢰딩거 방정식

앞 절에서 본 것처럼 위치 에너지 $U$가 시간에 무관할 때, 전체 파동함수는 공간 부분과 시간 부분으로 분리되고 핵심은 공간 파동함수 $\psi(\vec r)$에 담깁니다. 이 $\psi$가 만족하는 방정식이 시간 무관 슈뢰딩거 방정식입니다. 3차원에서는 다음과 같습니다($\hbar=h/2\pi$).

운동이 한 방향(예: $x$축)뿐인 1차원에서는 $\nabla^2$이 $d^2/dx^2$로 바뀝니다.

여기서 $\psi$는 공간 파동함수(41.1절의 소문자 $\psi$), $U$는 위치 에너지, $E$는 계의 전체 에너지, $m$은 입자의 질량입니다.

각 항의 의미

한 문장으로 요약하면 (운동에너지 $+$ 위치에너지)$\,\psi=$ (전체 에너지)$\,\psi$, 즉 에너지 보존을 연산자 형태로 쓴 것이 시간 무관 슈뢰딩거 방정식입니다. 더 엄밀히는 좌변 전체가 총에너지 연산자(해밀토니안 $\hat H$)를 $\psi$에 작용시킨 것이라, 이 식은 $\hat H\psi=E\psi$ 꼴의 고유값 방정식입니다(41.1에서 예고한 $\hat H$).

이 방정식의 해 $\psi$에 41.2·41.3절의 경계조건을 걸면 허용된 파동함수 $\psi_n$과 양자화된 에너지 $E_n$이 나옵니다. 실제로 무한 우물(우물 안 $U=0$)에 이 방정식을 적용하면 앞서 본 사인 해 $\psi_n=A\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$가 그대로 얻어집니다(자세한 적용은 다음 항목).

방정식을 푼다는 것 — 해가 만족해야 할 조건

계의 위치 에너지 $U$가 주어지면 슈뢰딩거 방정식을 풀 수 있고, 그 결과로 그 계의 허용된 상태의 파동함수 $\psi$와 에너지 $E$를 얻습니다. $U$는 위치에 따라 다르므로, 방정식을 공간(위치)에 대해 풀어 $\psi(\vec r)$를 구합니다. 만약 $U$가 영역마다 다르면(예: 벽 안쪽 $U=0$, 바깥 $U=\infty$), 영역별로 따로 풀어 이어 붙입니다.

실제로 $\psi$를 푸는 일은 $U$의 형태에 따라 매우 어려울 수 있습니다. 정확히 손으로 풀리는 경우(무한 우물 · 단조화 진동자 · 수소 원자)는 오히려 소수이고, 대부분의 퍼텐셜에서는 근사법이나 수치해석에 의존합니다.

거시계에서는 고전역학으로 — 대응 원리 예시

이 파동함수를 거시계에 적용하면, 그 결과가 고전역학과 잘 일치합니다 (41.1절에서 언급한 대응 원리). 무한 우물의 결과를 거대한 구슬에 적용해 확인해 봅시다.

슈뢰딩거 방정식으로 상자 속 입자 풀기

41.2절에서는 드브로이 물질파의 정상파 조건만으로 무한 우물(상자 속 입자)의 파동함수 $\psi_n$과 에너지 $E_n$을 얻었습니다. 이번에는 같은 문제를 시간 무관 슈뢰딩거 방정식으로 직접 풀어 완전히 같은 결과를 얻고, 나아가 41.2에서 미정으로 남겨 두었던 규격화 상수 $A$까지 확정해 봅니다. 상자는 폭이 $L$이고, 벽 바깥은 $U=\infty$(입자가 절대 못 나감), 우물 안($0<x<L$)은 $U=0$입니다.

1단계 — 우물 안의 방정식. 우물 안에서는 $U=0$이므로, 1차원 시간 무관 슈뢰딩거 방정식 $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi}{dx^2}+U\psi=E\psi$의 둘째 항이 사라집니다.

양변을 정리하면 (파수 $k$를 도입해) 다음의 표준적인 진동형 미분방정식이 됩니다.

2단계 — 일반해. $\dfrac{d^2\psi}{dx^2}=-k^2\psi$의 일반해는 사인·코사인의 선형결합입니다($A$, $B$는 상수).

3단계 — 경계조건. 벽 바깥은 $U=\infty$라 $\psi=0$이고, $\psi$는 연속이어야 하므로 벽에서 $\psi$가 0이어야 합니다($\psi(0)=\psi(L)=0$).

따라서 허용된 파동함수는 다음과 같습니다.

이는 41.2절에서 드브로이 정상파로 얻은 파동함수와 정확히 같은 꼴입니다. 두 접근(정상파 조건 ↔ 슈뢰딩거 방정식)이 같은 답에 도달합니다.

4단계 — 에너지. $k=\dfrac{n\pi}{L}$을 $k^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}$에 넣어 $E$에 대해 풀면 양자화된 에너지 $E_n$을 얻습니다.

마지막 등호는 $\hbar=h/2\pi$를 넣은 것입니다. 그러면 $\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2}=\dfrac{\pi^2}{2}\cdot\dfrac{h^2}{4\pi^2}=\dfrac{h^2}{8}$이 되어, 41.2절의 $E_n=\dfrac{n^2h^2}{8mL^2}$와 정확히 일치합니다.

5단계 — 규격화($A$ 확정). 41.2에서 미정으로 남겼던 상수 $A$는 규격화 조건으로 정해집니다. 입자는 우물 안 어딘가에 반드시 있으므로, 전 구간에서 확률의 합이 1이어야 합니다.

여기서 $\sin^2$의 0–$L$ 적분이 $L/2$임을 썼습니다 ($\sin^2\theta=\tfrac12(1-\cos 2\theta)$이고, $\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)$가 $[0,L]$에서 정수($n$)개의 완전한 주기를 돌아 그 적분이 정확히 0이 되기 때문). 따라서 규격화된 파동함수는 다음과 같이 완전히 확정됩니다.

41.5 유한한 깊이의 우물에 갇힌 입자

앞의 41.2·41.4절에서 다룬 무한 우물은 벽이 무한히 높아 입자가 절대 밖으로 나갈 수 없는 이상화된 모형이었습니다. 그러나 실제 원자·분자·반도체 속의 전자가 느끼는 퍼텐셜 우물은 벽의 높이가 유한합니다. 이 절에서는 벽이 유한한 유한 깊이 우물을 다루고, 그 결과로 나타나는 고전적으로 금지된 영역으로의 스며듦을 살펴봅니다. 이는 곧이어 나올 41.6절 터널링의 바탕이 됩니다.

유한 우물이란 — 벽 높이가 유한하다

무한 우물과 달리, 유한 우물은 벽 바깥의 위치 에너지가 무한대가 아니라 유한한 값 $U_0$입니다. 폭이 $L$인 우물을 기준으로,

입니다. 여기서는 입자가 우물에 갇혀 있는(속박된) 상태, 즉 에너지가 벽보다 낮은 경우 $E<U_0$를 생각합니다(만약 $E>U_0$이면 입자는 우물에 갇히지 못하고 자유롭게 돌아다닙니다). 고전역학이라면 $E<U_0$인 입자는 벽 바깥($U=U_0>E$)에 결코 존재할 수 없습니다 — 그곳은 운동 에너지가 음수가 되는, 고전적으로 금지된 영역이기 때문입니다.

고전적으로 금지된 영역으로 스며든다

우물 안($0<x<L$)에서는 $U=0$이라 슈뢰딩거 방정식이 무한 우물과 똑같아지고, 파동함수는 사인·코사인으로 진동합니다. 파수는 무한 우물과 같은 꼴입니다.

그런데 우물 밖($x\le 0$ 또는 $x\ge L$)에서는 사정이 완전히 다릅니다. 이곳은 $E<U_0$인 고전적으로 금지된 영역이지만, 양자역학에서 파동함수는 벽에서 딱 0이 되지 않습니다. 벽 안쪽 방정식이 진동형($\psi''=-k^2\psi$)이었던 것과 달리, 밖에서는 부호가 뒤집혀 $\psi''=+\kappa^2\psi$ 꼴이 되고, 그 해는 진동이 아니라 지수적으로 감쇠(evanescent)하며 밖으로 스며드는 형태입니다.

침투상수 $\kappa$가 클수록(즉 벽이 높거나 $U_0-E$가 클수록) 더 빨리 사그라들고, 침투 깊이는 대략 $1/\kappa$ 정도입니다. 핵심은 벽 밖에서도 입자를 발견할 확률이 0이 아니라는 것입니다. 이것이 무한 우물(벽 밖에서 $\psi=0$)과의 결정적인 차이입니다 — 입자가 고전적으로는 갈 수 없는 영역으로 파동함수의 꼬리가 새어 나갑니다.

경계조건·에너지 준위 — 무한 우물과의 비교

무한 우물에서는 벽에서 $\psi=0$이라는 조건 하나만 부과했지만, 유한 우물에서는 $U_0$가 유한하므로 벽($x=0,\ x=L$)에서 파동함수 $\psi$뿐 아니라 그 도함수 $d\psi/dx$까지 연속이어야 합니다(41.1·41.4절의 “파동함수는 매끄럽게 이어져야 한다”와 연결). 안쪽의 진동 파동함수와 밖으로 스며드는 지수 꼬리를 이렇게 부드럽게 연결하는 조건이 에너지를 양자화하여, 무한 우물처럼 이산적인 준위 $E_n$만 허용됩니다.

다만 이 매끄러운 연결 조건은 사인·코사인과 지수함수가 섞인 초월방정식이 되어, 무한 우물의 $E_n=n^2h^2/8mL^2$처럼 손으로 딱 떨어지게 풀리지는 않습니다(수치 계산이나 그래프로 해를 찾습니다). 그럼에도 물리적 결론은 명확합니다.

41.6 위치 에너지 장벽의 투과

41.5절에서 우리는 파동함수가 고전적으로 금지된 영역으로 스며든다는 것을 보았습니다. 스며든 꼬리는 지수적으로 사그라들지만, 완전히 0이 되지는 않습니다. 그렇다면 벽이 얇다면 어떻게 될까요? 꼬리가 미처 다 죽기 전에 벽의 반대편에 도달하고, 그 너머에서 파동함수는 다시 진동을 시작합니다. 즉 입자가 벽 반대쪽에서 발견될 확률이 0이 아닙니다. 이 현상이 터널링(tunneling, 터널 효과)입니다.

41.5절에서 정리한 관점을 그대로 가져오면 이해가 빠릅니다 — 벽은 파동을 막는 것이 아니라 파장을 허수로 만들어($k\to i\kappa$) 진동을 감쇠로 바꿀 뿐입니다. 그러니 벽이 얇으면, 다 사그라들기 전에 반대편으로 넘어갑니다.

장벽을 만난 입자 — 세 영역

상황을 구체적으로 잡아 봅시다. 폭이 $L$, 높이가 $U_0$인 퍼텐셜 장벽이 있고, 에너지가 $E$인 입자가 왼쪽에서 이 장벽을 향해 입사합니다. 관심 있는 경우는 $E<U_0$ — 고전적으로는 절대 넘을 수 없는 상황입니다. 공간은 세 영역으로 나뉩니다.

• 영역 I($x<0$, $U=0$) — 입사파 + 반사파가 겹쳐 있는 곳입니다. $U=0$이므로 파동함수는 진동하는 사인·코사인 꼴이고, 파수는 $k=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$입니다.
• 영역 II($0<x<L$, $U=U_0$) — $E<U_0$이므로 41.5절의 우물 밖과 똑같이 $\psi''=+\kappa^2\psi$ 꼴이 되어, 파동함수는 진동하지 않고 지수적으로 감쇠합니다. 감쇠상수는 $\kappa=\dfrac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}$입니다(41.5절의 침투상수와 같은 양).
• 영역 III($x>L$, $U=0$) — 투과파입니다. 다시 $U=0$이므로 파동함수는 진동하며, 파수는 영역 I과 똑같은 $k$입니다. 장벽을 지나면서 입자의 에너지 $E$가 변한 것이 아니기 때문에 파장은 그대로이고, 달라진 것은 진폭이 작아졌다는 점뿐입니다.

투과 계수 — 장벽이 두껍고 높을수록 급격히 작아진다

장벽에 부딪힌 입자가 반대편으로 빠져나갈 확률을 투과 계수(transmission coefficient) $T$, 되튀어 나올 확률을 반사 계수(reflection coefficient) $R$라 합니다. 입자는 둘 중 하나가 되므로 $$T+R=1$$ 이 항상 성립합니다. 장벽이 충분히 넓고 높아 $\kappa L\gg 1$인 경우, $T$는 다음과 같이 아주 간단한 지수 꼴로 근사됩니다.

(직사각형 장벽(양쪽 퍼텐셜이 같은 경우)의 엄밀한 해는 $T=\left[1+\dfrac{U_0^{\,2}\sinh^2(\kappa L)}{4E(U_0-E)}\right]^{-1}$ 꼴입니다. $\kappa L\gg1$에서 $\sinh(\kappa L)\approx \tfrac12 e^{\kappa L}$을 넣으면 정확히는 $T\approx\dfrac{16E(U_0-E)}{U_0^{\,2}}\,e^{-2\kappa L}$가 되는데, 앞의 인자는 크기가 1 안팎(최대 4)이라 지수 인자에 비하면 무시할 만합니다. 그래서 보통 $T\approx e^{-2\kappa L}$로 씁니다 — 핵심 물리는 지수 인자 $e^{-2\kappa L}$가 전부 쥐고 있습니다.)

이 한 줄에서 읽어야 할 것은 $T$가 장벽의 폭 $L$에 지수적으로, 높이에는 $\sqrt{U_0-E}$를 통해 지수적으로 민감하다는 사실입니다.

• 폭 $L$ — $L$이 조금만 커져도 지수가 곧바로 커져 $T$가 급락합니다. 가늠하자면, $\kappa L$이 1만큼 늘어나면 $T$는 $e^{-2}\approx 0.14$배, 즉 약 1/7로 줄어듭니다. $\kappa L$이 5 늘면 $e^{-10}\approx 5\times10^{-5}$배입니다.
• 높이 $U_0$ — $U_0-E$가 커지면 $\kappa$가 커지고, 역시 $T$가 급격히 작아집니다. 반대로 입자 에너지 $E$가 장벽 꼭대기에 가까워질수록 $\kappa\to0$이 되어 투과가 쉬워집니다.
• 질량 $m$ — $\kappa\propto\sqrt{m}$이므로 무거운 입자일수록 $T$가 급감합니다. 전자처럼 가벼운 입자에서는 나노미터 규모의 장벽에서 $T$가 측정 가능한 크기지만, 거시 물체(사람이나 공)는 $m$이 어마어마해 $T$가 사실상 0입니다. — 벽을 향해 달려도 통과하지 못하는 이유가 여기에 있습니다.

터널링이 실제로 쓰이는 곳

$T\approx e^{-2\kappa L}$의 지수적 민감성은 단순한 계산상의 성질이 아니라, 자연과 기술에서 곧바로 관측되는 결과를 만들어 냅니다.

용어 — 방사성 붕괴에서 붕괴 전의 핵을 어미핵(모핵, parent nucleus), 붕괴 후에 남은 핵을 딸핵(daughter nucleus)이라고 부릅니다. 예를 들어 $^{238}\mathrm{U}\to{}^{234}\mathrm{Th}+{}^{4}\mathrm{He}$ 에서 $^{234}\mathrm{Th}$이 딸핵, $^{4}\mathrm{He}$이 방출되는 알파 입자입니다. 위 표의 쿨롱 장벽은 바로 이 빠져나가는 알파 입자(전하 $+2e$)와 남은 딸핵(전하 $+Z'e$) 사이의 전기적 반발이 만드는 장벽입니다.

수치 감각(핵융합) — 태양 중심의 온도 $1.5\times10^{7}\,$K에서 열에너지 척도는 $k_B\!\times\!(1.5\times10^{7}\,\mathrm{K})\approx1.3\,$keV(평균 병진 운동에너지 $\tfrac32k_BT\approx2\,$keV)입니다. 반면 두 양성자가 핵력이 닿는 $\sim10^{-15}\,$m까지 접근하려면 넘어야 할 쿨롱 장벽은 $\sim1.4\,$MeV 규모 — 약 1000배 부족합니다. 그래도 태양이 타는 이유는 터널링, 그리고 그 확률이 에너지에 지수적으로 민감하다는 사실뿐입니다.

알파 붕괴 — 안에서 밖으로 뚫는다

핵 안의 상황 — 무거운 핵 안에서 알파 입자(양성자 2 + 중성자 2, 즉 $^{4}\mathrm{He}$ 핵)가 이미 하나의 덩어리처럼 존재한다고 보면, 그것은 강한 핵력이 만든 깊은 우물 안에 갇혀 있는 셈입니다. 우물 안에서 알파 입자는 벽에 초당 $\sim10^{21}$회라는 엄청난 횟수로 부딪힙니다. 그런데 핵 표면 밖으로 나가면 핵력은 급격히 사라지고, 딸핵($+Z'e$)과 알파 입자($+2e$) 사이의 쿨롱 반발만 남아 장벽을 이룹니다. 방출되는 알파 입자의 에너지는 수 MeV인데 이 장벽의 꼭대기는 수십 MeV라서, 에너지 < 장벽 — 고전적으로는 절대 나올 수 없습니다.

그런데도 나온다 — 한 번 부딪힐 때마다 장벽을 뚫을 확률이 투과 계수 $T$이므로, 여기에 초당 부딪히는 횟수를 곱하면 곧 붕괴율이 됩니다: (붕괴율) $\approx$ (충돌 빈도) $\times\,T$. 쿨롱 장벽은 $U(r)\propto 1/r$ 꼴이라 폭과 높이가 일정한 직사각형이 아니지만, 지수 꼴은 그대로 살아남습니다 — $T\approx\exp\!\left[-\dfrac{2}{\hbar}\displaystyle\int_{R}^{b}\sqrt{2m\,[U(r)-E]}\;dr\right]$, 이 지수가 바로 가모프 인자입니다. 어느 쪽이든 $T$는 에너지에 지수적으로 민감하므로, 알파 입자의 에너지가 조금만 높아 장벽이 조금만 얇아져도 붕괴율은 어마어마하게 커집니다. 알파 붕괴 반감기가 핵종에 따라 $10^{-7}\,$초에서 $10^{17}\,$년 이상까지 30자릿수를 넘게 벌어지는 이유가 바로 이것입니다. 에너지와 반감기 사이의 이 관계는 실험적으로 먼저 알려진 가이거–너톨 법칙이고, 가모프, 그리고 독립적으로 거니와 콘던이 1928년 터널링으로 설명해 냈습니다. (엄밀히는 알파 클러스터가 미리 형성될 확률이 추가로 곱해지지만, 자릿수 경향은 $T$가 지배합니다.)

예 — $^{212}\mathrm{Po}$(알파 에너지 $8.8\,$MeV, 반감기 $0.3\,\mu$s) vs $^{238}\mathrm{U}$($4.2\,$MeV, 45억 년). 알파 에너지가 2배 차이일 뿐인데 반감기는 약 $5\times10^{23}$배 벌어집니다.

공명 투과 — 이중 장벽과 양자점

이중 장벽(double barrier) 구조 — 장벽을 하나만 두는 대신 장벽 – 얇은 우물 – 장벽 순서로 쌓으면, 가운데 우물 안에 준속박 상태(quasi-bound state, 에너지 $E_1,\,E_2,\dots$)가 생깁니다. 41.5절의 유한 깊이 우물과 비슷하지만, 양옆이 유한한 두께의 장벽이라 완전히 갇히지 않고 바깥으로 조금씩 새어 나갈 수 있는 상태라는 점이 다릅니다.

공명(resonance) — 왼쪽에서 입사한 전자의 에너지 $E$가 우물의 준속박 준위 $E_1$과 일치하면, 우물 안에서 여러 번 왕복한 파동이 보강간섭으로 크게 쌓이고 투과 계수 $T$가 $T\to1$(거의 100 %)까지 치솟습니다. 반대로 준위와 어긋난 에너지에서는 $T$가 매우 작습니다. 즉 $T(E)$는 준위 위치마다 뾰족한 봉우리를 갖는 함수가 되며, 이는 단일 장벽에서 $T\approx e^{-2\kappa L}$로 에너지에 따라 완만하게만 변하던 앞부분의 결과와 뚜렷이 대조됩니다. 두 장벽 사이의 우물이 빛의 파브리–페로 공진기처럼 작동해, 딱 맞는 에너지에서만 문이 활짝 열리는 셈입니다.

공명 투과 다이오드(RTD, resonant tunneling diode) — 이 이중 장벽 구조에 전압을 걸면 우물의 준위가 위아래로 움직입니다. 준위가 입사 전자의 에너지와 맞는 순간 전류가 최대가 되고, 전압을 더 올려 준위가 그 에너지를 지나쳐 버리면 오히려 전류가 줄어듭니다 → 음의 미분 저항(NDR). 터널링 자체가 매우 빨라 고속 스위칭과 발진에 쓰입니다.

양자점(quantum dot) — 이중 장벽이 전자를 한 방향으로만 가둔다면, 이를 3차원으로 확장해 사방에서 가둔 것이 양자점입니다. 갇힌 전자의 에너지 준위가 원자처럼 이산적이어서 인공 원자(artificial atom)라고도 부릅니다. 전자는 양쪽에 붙인 장벽 (소스·드레인 터널 접합)을 통해 하나씩 드나듭니다.

위에 얹은 금속 전극(게이트) — 양자점 위(또는 옆)에 금속 게이트 전극을 두고 게이트 전압 $V_g$를 걸면, 점 안의 에너지 준위 전체를 위아래로 평행 이동시킬 수 있습니다. 게이트로 준위를 소스·드레인의 에너지에 맞추면 전자가 통과해 전류가 흐르고, 어긋나면 막힙니다. 그 결과 전류는 $V_g$에 대해 주기적으로 뾰족한 봉우리를 그립니다 (쿨롱 봉쇄 Coulomb blockade, 단전자 트랜지스터의 기본 원리). 즉 게이트는 준위를 조절하는 손잡이입니다.

봉우리 사이의 간격은 전자 하나를 더 밀어 넣을 때 드는 충전 에너지 $e^2/C$ ($C$는 양자점의 전기용량) 때문에 생깁니다 — 여기서는 이 정도만 알아 두면 충분합니다.

정리하면, 단일 장벽의 터널링이 ‘얼마나 새는가’를 묻는 문제였다면, 이중 장벽과 양자점은 ‘언제 문이 열리는가’를 설계하는 단계입니다. 터널링을 억제 대상이 아니라 제어 가능한 자원으로 삼아 소자로 쓰는 것이지요.

특히 마지막 STM은 터널링이 ‘미시 세계의 신기한 이야기’에 그치지 않고 표면의 원자를 하나하나 볼 수 있는 도구가 된 사례입니다. 그 원리와 원자 분해능이 나오는 과정은 이어지는 41.7절 주사 터널링 현미경에서 자세히 다룹니다.

41.7 주사 터널링 현미경

주사 터널링 현미경(STM, Scanning Tunneling Microscope)은 41.6절의 터널링을 그대로 측정 도구로 바꾼 장치입니다. 끝이 원자 하나 수준으로 뾰족한 금속 탐침(팁)을 시료 표면 위 약 $0.5\ \mathrm{nm}$까지 내리면, 그 사이의 진공 간극이 곧 퍼텐셜 장벽이 됩니다 (장벽 높이는 대략 금속의 일함수 $\phi\approx4\ \mathrm{eV}$). 탐침과 시료 사이에 작은 전압 (수 mV~수 V)을 걸면 고전적으로는 전혀 흐를 수 없는 전류가 흐르는데, 전자가 이 간극을 터널링하기 때문입니다. 이것이 터널 전류 $I$(보통 pA~nA 규모)입니다.

41.6절의 $T\approx e^{-2\kappa L}$에서 장벽 폭 $L$이 간극 $d$로, 장벽 높이 $U_0-E$가 일함수 $\phi$로 바뀐 것뿐입니다(페르미 준위 근처 전자에 대해 $U_0-E\simeq\phi$). 엄밀히는 $I\propto V\,\rho_s(E_F)\,e^{-2\kappa d}$로 바이어스 $V$와 시료의 상태밀도 $\rho_s$에도 비례하지만, $d$ 의존성은 전적으로 지수 인자가 쥐고 있습니다.

두 가지 운전 모드

41.8 단조화 진동자

왜 다시 진동자인가 — 플랑크에게 돌아가기

40.1절 흑체복사에서, 공동 속 복사는 공동 벽 안의 진동하는 전하(전기 쌍극자)가 내는 것으로 보았습니다. 고전 이론은 공동 안의 각 정상파 모드에 등분배 정리에 따라 평균 에너지 $k_BT$를 똑같이 나누어 주었는데, 짧은 파장 쪽 모드 수가 무한히 많아 복사 세기가 발산해 버렸습니다 — 자외선 파탄입니다. 플랑크는 이를 막기 위해 벽의 진동자가 가질 수 있는 에너지를 $E_n=nhf$로 양자화하고, 진동자는 준위 사이를 옮겨 다니며 $hf$ 덩어리로만 에너지를 주고받는다고 놓았습니다.

그때는 근거 없는 가정이었습니다. 이제 우리는 슈뢰딩거 방정식을 갖고 있으니, 그 “진동하는 전하”를 단조화 진동자로 놓고 제대로 풀어 플랑크의 가정이 맞는지 확인할 수 있습니다.

출발점 — 고전적인 단조화 진동자

평형점($x=0$)에서 벗어난 만큼 되돌리는 선형 복원력 $F=-kx$를 받는 계가 단조화 진동자입니다 (용수철, 작은 진폭의 진자, 결정 격자 속 원자, 그리고 벽 속의 진동하는 전하 모두 이 꼴로 근사됩니다). $F=-dU/dx$이므로 위치 에너지는

고전적으로 진폭이 $A$이면 전향점($x=\pm A$)에서 운동에너지가 0이므로 전체 에너지는 $E=K+U=\tfrac12kA^{2}=\tfrac12m\omega^{2}A^{2}$입니다. 진폭 $A$를 연속적으로 바꿀 수 있으니 $E$도 연속이고, $A\to0$이면 $E\to0$ — 즉 완전히 멈춰 설 수 있습니다. 양자역학은 이 두 결론을 모두 바꿉니다.

양자적 풀이 — 바닥상태를 대입해 확인하기

이 $U$를 시간 무관 슈뢰딩거 방정식(41.4절)에 그대로 넣습니다.

정식으로 풀려면 급수해법이 필요하지만, 바닥상태만이라면 답을 짐작해 대입해 확인하는 것으로 충분합니다. 41.5절의 유한 우물에서 보았듯 파동함수는 금지 영역에서 지수적으로 잦아들고, 바닥상태는 마디가 없어야 하므로 가운데가 봉우리인 종 모양일 것입니다. 그래서 $\psi_0=Be^{-Cx^{2}}$ ($B,C>0$)로 놓아 봅니다.

일반해 — 등간격 사다리

같은 방식을 마디가 하나, 둘, ... 있는 해로 확장하면(에르미트 다항식 $H_n$이 나옵니다) 허용 에너지는 다음과 같습니다.

가우시안 $e^{-\xi^{2}/2}$이 공통 인자이고, $n$이 커질수록 앞의 다항식이 마디를 하나씩 늘립니다 (상자 속 입자의 $\sin(n\pi x/L)$이 마디를 늘려 가던 것과 같은 구조).

양자 확률밀도 vs 고전 확률밀도 — 어디에 오래 머무는가

고전 진동자를 아무 때나 한 번 사진 찍는다고 해 봅시다. 어떤 자리에서 발견될 확률은 그곳에 머무는 시간에 비례합니다 — $dt=dx/|v|$. 에너지 보존 $\tfrac12mv^{2}+\tfrac12m\omega^{2}x^{2}=\tfrac12m\omega^{2}A^{2}$에서 $|v(x)|=\omega\sqrt{A^{2}-x^{2}}$이므로 $P\propto1/\sqrt{A^{2}-x^{2}}$이고, $x=A\sin\theta$ 치환으로 규격화하면

전향점 $\pm A$에서 발산(속도가 0이라 무한히 오래 머무는 극한 — 넓이로 적분하면 유한한 ‘적분 가능한 발산’), 가운데에서 최소(가장 빠르게 지나감), $|x|>A$에서는 정확히 0 — 위로 열린 U자입니다. 바닥상태의 $|\psi_0|^{2}$과 정확히 반대 모양입니다.

고전적 진폭은 $\tfrac12m\omega^{2}A_n^{2}=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega$에서 $A_n=\sqrt{\dfrac{(2n+1)\hbar}{m\omega}}$ — 무차원 변수로는 $\xi_n=\sqrt{2n+1}$이고, 바닥상태는 $A_0=\sqrt{\hbar/m\omega}$ 즉 $\xi_0=1$입니다.

플랑크의 가정과 비교 — 결론

$\omega=2\pi f$이고 $\hbar=h/2\pi$이므로 $\hbar\omega=hf$입니다. 따라서 위 결과는

영점 에너지는 계산상의 군더더기가 아닙니다. 절대 0도에서도 헬륨이 상압에서 얼지 않는 것(영점 운동이 약한 반데르발스 결합을 이겨, 고체가 되려면 약 25기압 이상이 필요합니다), 결정 속 원자가 0 K에서도 흔들리는 것(중성자·X선 산란에서 관측), 가까이 놓인 두 금속판이 서로 끌리는 카시미르 효과 모두 진공과 진동자의 영점 요동이 실재함을 보여 줍니다.